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試科目：理學數(shù)學

考試科目代碼：601

適用專業(yè)：統(tǒng)計學

參考書目：

[1] 同濟大學數(shù)學系主編. 高等數(shù)學（上、下）（第六版），高等數(shù)學出版社.

[2] 同濟大學數(shù)學系主編. 線性代數(shù)（第五版），高等數(shù)學出版社.

[3] 魏宗舒等主編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第二版），高等數(shù)學出版社.

考試總分：150分

考試時間：3小時

考試內容之高等數(shù)學

函數(shù)、極限、連續(xù)

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關系.

2.了解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性.

3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

4.掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.

5.了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念.

6.了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.

7.理解無窮小的概念和基本性質.掌握無窮小量的比較方法.了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系.

8.理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判別函數(shù)間斷點的類型.

9.了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最值定理、介值定理)，并會應用這些性質.

一元函數(shù)微分學

考試要求

1.理解導數(shù)的概念及可導性與連續(xù)性之間的關系，了解導數(shù)的幾何意義與經濟意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程.

2.掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求反函數(shù)與隱函數(shù)的導數(shù).

3.了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù).

4.了解微分的概念、導數(shù)與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分.

5.理解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒定理和柯西(Cauchy)中值定理，掌握這四個定理的簡單應用.

6.會用洛必達法則求極限.

7.掌握函數(shù)單調性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應用.

8.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線.

9.會描述簡單函數(shù)的圖形.

一元函數(shù)積分學

考試要求

1.理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法.

2.了解定積分的概念和基本性質，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導數(shù)，掌握牛頓——萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法.

3.會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數(shù)的平均值，會利用定積分求解簡單的經濟應用問題.

4.了解反常積分的概念，會計算簡單反常積分.

多元函數(shù)微積分學

考試要求

1.了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義.

2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質.

3.了解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念，會求多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)，會求全微分，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù).

4.了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決簡單的應用問題.

5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標和極坐標)，了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分并會計算.

無窮級數(shù)

考試要求

1.了解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念.

2.了解級數(shù)的基本性質和級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及-級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法.

3.了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法.

4.會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域.

5.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分)，會求簡單冪級數(shù)在其收斂域的和函數(shù).

6.了解 、、、及的麥克勞林(Maclaurin)展開式.

常微分方程

考試要求

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

2.掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法.

3.會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程.

4.了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.

5.會用微分方程求解簡單的經濟應用問題.

考試內容之線性代數(shù)

行列式

考試要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質.

2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式.

矩陣

考試要求

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質.

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.

4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法.

5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則.

向量

考試要求

1.了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運算法則.

2.理解向量的線性

組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.

3.理解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.

4.理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系.

5.了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特方法.

線性方程組

考試要求

1.會用克萊姆法則解線性方程組.

2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法.

3.理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.

4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念.

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

矩陣的特征值和特征向量

考試要求

1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法.

2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為對角矩陣的方法.

3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質.

二次型

考試要求

1.了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念.

2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標準形.

3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法.

考試內容之概率論與數(shù)理統(tǒng)計

隨機事件和概率

考試要求

1.了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算.

2.理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯(Bayes)公式等.

3.理解事件的獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算，理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法.

隨機變量及其分布

考試要求

1.理解隨機變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率.

2.理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項分布、幾何分布、泊松(Poisson)分布及其應用.

3.掌握泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布.

4.理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應用.

5.會求隨機變量函數(shù)的分布.

多維隨機變量及其分布

考試要求

1.理解多維隨機變量的分布函數(shù)的概念和基本性質.

2.理解二維離散型隨機變量的概率分布和二維連續(xù)型隨機變量的概率密度，掌握二維隨機變量的邊緣分布和條件分布.

3.理解隨機變量的獨立性和不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件，理解隨機變量的不相關性與獨立性的關系.

4.掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布，理解其中參數(shù)的概率意義.

5.會根據(jù)兩個隨機變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布，會根據(jù)多個相互獨立隨機變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布.

隨機變量的數(shù)字特征

考試要求

1.理解隨機變量數(shù)字特征(數(shù)學期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關系數(shù))的概念，會運用數(shù)字特征的基本性質，并掌握常用分布的數(shù)字特征.

2.會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.

3.了解切比雪夫不等式.

大數(shù)定律和中心極限定理

考試要求

1.了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律(獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律).

2.了解棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理(二項分布以正態(tài)分布為極限分布)、列維—林德伯格中心極限定理(獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理)，并會用相關定理近似計算有關隨機事件的概率.

數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

考試要求

1.了解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念.

2.了解產生離散型隨機變量、連續(xù)性隨機變量的典型模式，了解正態(tài)分布和標準正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布以及分布的雙側分位數(shù)，會查相應的數(shù)值表.

3.掌握正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差、樣本矩的抽樣分布.

4.了解經驗分布函數(shù)的概念和性質.

參數(shù)估計

考試要求

1.了解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念.

2.掌握矩估計法(一階矩、二階矩)和最大似然估計法.

試卷結構

選擇題、填空題、解答題（包括上述題型，但不一定在一次考試中同時出現(xiàn)）。

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